数控体系中算法的实现
在数控系统中，插补算法是生成加工轨迹的一个*基本的子程序，在很大程度上决定了数控机床的加工精度和*大进给速度。传统dda圆弧插补计算过程简单，但是用切线逼近圆弧造成误差。本文提出了一种新的圆弧dda插补算法，该改进算法使用割线逼近圆弧，可以降低径向误差，插补精度较高，误差分析结果表明dda圆弧插补改进算法具明显的优势，可以有效提高计算精度和计算效率。
1传统dda圆弧插补算法在用户编制的零件程序中，对于圆弧插补的程序段，提供了圆弧在xz平面中的起点、终点以及圆心相对于起点的偏移量i 0、k 0值。现以**象限的顺圆为例，说明传统dda圆弧插补算法的实现。
在机床xz坐标系中，设圆弧起点为a，圆心为c，坐标轴原点平移a点后构成ik坐标系。ik坐标系原点a即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心c相对于原点a的坐标值为（k，i）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到a i点，这时圆心c的坐标为（k i，i i）。在第i＋1次迭代中，切割枪将沿着切线a i c′方向移动，于是将按斜率为－k i／i i的切线进行插补迭代一步，切割枪移动到a i＋1点。此时圆心c相对于a i＋1，的坐标为（i i＋1，k i＋1）。
式（1）x和z轴的进给步长可以根据编程速度按斜率为－k i／i i；的直线a i c′计算如下：△x i＋1＝v（3）因此，**象限顺圆的传统dda圆弧插补迭代公式如下式（4）i i＝i i－1－△x i k i＝k i－1－△z i）式（5）x i＝x i－1－△x i z i＝z i－1－△z i）式（6）上述公式中**个公式用来计算第i次插补周期中坐标轴的进给步长，第二个公式用来修正圆心相对于切割枪位置的现时坐标，第三个公式用来计算切割枪应该达到的命令位置。图2中轨迹是根据传统dda圆弧插补算法形成的轨迹曲线，包括8个插补点。由切线逼近圆弧的插补算法本身的误差所引起的径向误差较大。
2dda圆弧插补改进算法及其实现传统dda圆弧插补计算过程简单，但是用切线逼近圆弧造成误差。该改进算法使用割线逼近圆弧，可以降低径向误差。改进算法的思想如图3所示，下面以顺圆为例说明。
ik坐标系原点a即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心c相对于原点a的坐标值为（k，i）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到a i点，这时圆心c的坐标为（k i，i i）。
在第i＋l次迭代中，切割枪将移动到a i＋1点。a i a i＋1是辅助圆a i da i＋1的割线和辅助圆ebf的切线，r 1、r 2分别是辅助圆a i da i＋1和ebf的半径。
r是插补圆弧的半径，因为内外均差割线可以降低径向误差，所以由dda圆弧插补原理可得g点坐标（z g，x g）z x＝z i＋a i g因为g、b、c在一条直线上，c点在zx坐标系下坐标为（z c，x c｝，所以b点坐标（z b，x b）为z b＝z c＋z g式（15）因为b为a i a i＋1的中点，所以a i＋1的坐标（z i＋1，x i＋1）为z i＋1＝2z b－z i x i＋1＝2b－x i）式（16）如图4所示在插补的开始和结束位置，根据dda插补原理，使用插补圆弧的切线连接插补圆弧和逼近圆弧的割线。
设圆弧插补起点为p o（z o，x o），终点为p e（z e，x e），圆心相对于圆弧起点的偏差为k 0和i 0，圆心相对于圆弧终点的偏差为k e和i e，圆弧半径为r，进给速度为v，插补周期为t，则改进圆弧插补算法为（1）计算辅助圆半径r 1和r 2 r 1＝r2）计算插补圆弧起点和终点处的切线斜率在起点处：k 0＝－k 0／i 0式（19）在终点处：k e＝－k e／i e式（20）（3）计算插补圆弧起点和终点的切线与外侧辅助圆的交点a 1和a n的坐标a 1的坐标：z 1＝r 1 2－r 2k 0／r＋z 0 x 1＝－r 1 2－r i 0／r＋x 0
式（22）（4）计算**步进给量△z 1＝z 1－z 0式（23）△x 1＝x 1－x 0式（24）（5）修正圆心坐标k 1＝k i－1－z i i 1＝i i－1－x i（式（25）（6）计算算辅助插补步长l＝vtr 1 2r 2式（26）（7）根据式（13－16）计算第i步的命令位置a i（z i，x i）（8）计算进给量△z i＝z i－z i－1式（27）△x i＝x i－x i－1式（28）（9）判别是否到达终点a n，若是，转项（10），否则i加1后转项（5）（10）结束轨迹是改进后的dda圆弧插补算法形成的轨迹曲线，对比可知改进后的dda圆弧插补算法的径向误差比原算法小。
3dda圆弧插补改进算法误差分析以下的误差分析主要针对dda圆弧插补改进算法的径向误差与弦线逼近圆弧的弦线误差进行比较。在相同的步长δ和相同的圆弧半径r条件下，e r1为弦线逼近圆弧的弦线误差，e r2为dda圆弧插补改进算法的径向误差。如所示，在弦线逼近圆弧时e r1的计算公式为e r1＝r（1－δ2 4r 2）式（29）如所示，在dda圆弧插补改进算法中的计算公式为e r2＝rδ2 8r 2式（30）令△e r＝e r1－e r2 r＝1－1－δ2 4r 2 －δ2 8r 2式（31）k＝δr式（32）则△e r＝1－1－k 2 4－k 2 8式（33）函数图像如所示。当0＜k≤2时，△e r＞0，即dda圆弧插补改进算法的径向误差小于弦线逼近圆弧的弦线误差。而且在k＞1时，即切割小半径圆弧时前者有明显的优势。另外在dda圆弧插补改进算法中不包含超越函数，可以有效提高计算精度和计算效率。
4小结本文介绍了数控系统所使用的圆弧插补算法。
其中提出了一个基于传统dda圆弧插补算法的改进算法，并通过比较证明了该算法相对于弦线插补算法的优越性。实践表明dda圆弧插补改进算法精简了计算步骤，提高了计算速度。
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1传统dda圆弧插补算法在用户编制的零件程序中，对于圆弧插补的程序段，提供了圆弧在xz平面中的起点、终点以及圆心相对于起点的偏移量i 0、k 0值。现以**象限的顺圆为例，说明传统dda圆弧插补算法的实现。
在机床xz坐标系中，设圆弧起点为a，圆心为c，坐标轴原点平移a点后构成ik坐标系。ik坐标系原点a即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心c相对于原点a的坐标值为（k，i）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到a i点，这时圆心c的坐标为（k i，i i）。在第i＋1次迭代中，切割枪将沿着切线a i c′方向移动，于是将按斜率为－k i／i i的切线进行插补迭代一步，切割枪移动到a i＋1点。此时圆心c相对于a i＋1，的坐标为（i i＋1，k i＋1）。
式（1）x和z轴的进给步长可以根据编程速度按斜率为－k i／i i；的直线a i c′计算如下：△x i＋1＝v（3）因此，**象限顺圆的传统dda圆弧插补迭代公式如下式（4）i i＝i i－1－△x i k i＝k i－1－△z i）式（5）x i＝x i－1－△x i z i＝z i－1－△z i）式（6）上述公式中**个公式用来计算第i次插补周期中坐标轴的进给步长，第二个公式用来修正圆心相对于切割枪位置的现时坐标，第三个公式用来计算切割枪应该达到的命令位置。图2中轨迹是根据传统dda圆弧插补算法形成的轨迹曲线，包括8个插补点。由切线逼近圆弧的插补算法本身的误差所引起的径向误差较大。
2dda圆弧插补改进算法及其实现传统dda圆弧插补计算过程简单，但是用切线逼近圆弧造成误差。该改进算法使用割线逼近圆弧，可以降低径向误差。改进算法的思想如图3所示，下面以顺圆为例说明。
ik坐标系原点a即切割枪位置，随着切割枪而移动，圆心c相对于原点a的坐标值为（k，i）。第i次迭代之后，切割枪按照插补命令移动到a i点，这时圆心c的坐标为（k i，i i）。
在第i＋l次迭代中，切割枪将移动到a i＋1点。a i a i＋1是辅助圆a i da i＋1的割线和辅助圆ebf的切线，r 1、r 2分别是辅助圆a i da i＋1和ebf的半径。
r是插补圆弧的半径，因为内外均差割线可以降低径向误差，所以由dda圆弧插补原理可得g点坐标（z g，x g）z x＝z i＋a i g因为g、b、c在一条直线上，c点在zx坐标系下坐标为（z c，x c｝，所以b点坐标（z b，x b）为z b＝z c＋z g式（15）因为b为a i a i＋1的中点，所以a i＋1的坐标（z i＋1，x i＋1）为z i＋1＝2z b－z i x i＋1＝2b－x i）式（16）如图4所示在插补的开始和结束位置，根据dda插补原理，使用插补圆弧的切线连接插补圆弧和逼近圆弧的割线。
设圆弧插补起点为p o（z o，x o），终点为p e（z e，x e），圆心相对于圆弧起点的偏差为k 0和i 0，圆心相对于圆弧终点的偏差为k e和i e，圆弧半径为r，进给速度为v，插补周期为t，则改进圆弧插补算法为（1）计算辅助圆半径r 1和r 2 r 1＝r2）计算插补圆弧起点和终点处的切线斜率在起点处：k 0＝－k 0／i 0式（19）在终点处：k e＝－k e／i e式（20）（3）计算插补圆弧起点和终点的切线与外侧辅助圆的交点a 1和a n的坐标a 1的坐标：z 1＝r 1 2－r 2k 0／r＋z 0 x 1＝－r 1 2－r i 0／r＋x 0
式（22）（4）计算**步进给量△z 1＝z 1－z 0式（23）△x 1＝x 1－x 0式（24）（5）修正圆心坐标k 1＝k i－1－z i i 1＝i i－1－x i（式（25）（6）计算算辅助插补步长l＝vtr 1 2r 2式（26）（7）根据式（13－16）计算第i步的命令位置a i（z i，x i）（8）计算进给量△z i＝z i－z i－1式（27）△x i＝x i－x i－1式（28）（9）判别是否到达终点a n，若是，转项（10），否则i加1后转项（5）（10）结束轨迹是改进后的dda圆弧插补算法形成的轨迹曲线，对比可知改进后的dda圆弧插补算法的径向误差比原算法小。
3dda圆弧插补改进算法误差分析以下的误差分析主要针对dda圆弧插补改进算法的径向误差与弦线逼近圆弧的弦线误差进行比较。在相同的步长δ和相同的圆弧半径r条件下，e r1为弦线逼近圆弧的弦线误差，e r2为dda圆弧插补改进算法的径向误差。如所示，在弦线逼近圆弧时e r1的计算公式为e r1＝r（1－δ2 4r 2）式（29）如所示，在dda圆弧插补改进算法中的计算公式为e r2＝rδ2 8r 2式（30）令△e r＝e r1－e r2 r＝1－1－δ2 4r 2 －δ2 8r 2式（31）k＝δr式（32）则△e r＝1－1－k 2 4－k 2 8式（33）函数图像如所示。当0＜k≤2时，△e r＞0，即dda圆弧插补改进算法的径向误差小于弦线逼近圆弧的弦线误差。而且在k＞1时，即切割小半径圆弧时前者有明显的优势。另外在dda圆弧插补改进算法中不包含超越函数，可以有效提高计算精度和计算效率。
4小结本文介绍了数控系统所使用的圆弧插补算法。
其中提出了一个基于传统dda圆弧插补算法的改进算法，并通过比较证明了该算法相对于弦线插补算法的优越性。实践表明dda圆弧插补改进算法精简了计算步骤，提高了计算速度。
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