数控铣床的伺服系统进行动态特性辨识验证前馈预见补偿器的有效性
数控铣床是机械行业加工异型轮廓零件的一种重要设备，其控制器的主要作用是根据零件的数控加工程序发出运动指令，跟踪给定的轨迹. 当今数控加工的潮流已向着高速、高精度方向发展，以取得高的生产效率和加工精度. 采用常规控制算法的带反馈控制的轨迹控制器已不能适应这种要求，这种控制器在较低的轨迹矢量速度下能达到一定的控制精度， 随着控制速度矢量的变化率加大，延迟现象明显加大，轨迹误差随之增大. 在反馈控制器的基础上加上轨迹前馈误差补偿器的目的是为了消除延迟，使控制系统的闭环传递函数保持为定值. 即使得控制系统在不同的频率段保持相同的增益，从而达到更高的轨迹跟踪性能［1～4］. 数控铣床的一个特点是所跟踪的轨迹预先已知，因此可在前馈控制器中加进预见控制环节，以进一步提高性能. 前馈补偿器的补偿效果取决于对整个控制系统（含被控对象）传递函数的获取，当未确定被控对象的动态特性时， 前馈补偿器中缺乏用于校正误差的补偿项参数，因此，即使采用预见控制也不能提高轨迹控制器的控制性能［4］. 本文采用伪随机m序列信号对一台数控铣床的伺服系统进行动态特性辨识.在得到数控铣床闭环传递函数的基础上，针对其零-极点的分布，设计并计算出前馈预见补偿器的形式和参数，通过实验验证了此前馈预见补偿器的有效性.1 数控铣床伺服系统及实验装置
所研究的对象是一台经技改后配用美国的autocon公司于1993年生产的dynapath delta20型数控系统的三坐标铣床. 铣床数控系统，伺服系统及为进行辨识实验而附加的信号发生、采集装置如图1所示，为简化仅画出x轴伺服部分.
图1 铣床数控系统， 伺服系统及信号发生、 采集装置
fig.1 structure on servo system of nc mill and identification device
辨识过程中，由微机发出m序列二值伪随机信号，该信号经pcl812板的d/a口以合适的电平送至数控系统的速度控制端，叠加在系统正常工作的信号上，在测速电机的输出端产生的响应信号经a/d转换后与m信号一起存放在微机数据文件中.
2 m序列信号与相关分析法辨识
2.1 m序列信号及功率谱
辨识过程中采用zui大长度双电平伪随机m序列信号［5］，m序列信号统计特性较好，生成方法简便. 本研究中，由微机预先产生一个周期的m序列信号，然后循环输出. 经初步计算及实验后确定m序列信号周期长度为np＝27－1＝127，基本电平时间（钟周期）大于4ms时可取得较理想的辨识效果. 图2中给出了钟周期＝11ms时m序列信号的功率谱及数控铣床在此信号激励下的输出功率谱. 此m序列信号近似于白噪声，它能激励出铣床在工作通频带范围内的动态行为.
图2 m序列信号功率谱及数控铣床的输出功率谱
fig.2 power spectrum of m serial signal and output power spectrum of nc mill
2.2 相关分析－zui小二乘法辨识系统模型
相关分析法辨识的理论基础是维纳－何浦（wiener_hopt）方程［5］：
（1）
式中，ruu（λ-τ）为输入量的自相关函数；ruy（λ）为输入/输出量的互相关函数；为系统冲激响应的*估计.
设有一siso线性离散时间系统可表示为：
y（t）＝-a1y（t-1）-a2y（t-2）-…-any（t-n）+b1u（t-1）+b2u（t-2）+…+bnu（t-n）+e（t）=φttθ+e（t） （2）
式中：{u（t）}和{y（t）}分别为实际测量的输入和输出序列，e（t）为误差项.
φtt＝［-y（t-1）,…,-y（t-n）, u（t-1）,…,u（t-n）
θt=［a1,…an, b1,…,bn］
向量矩阵形式为
y=φtθ+e
残差为：
应用zui小二乘法的辨识就是确定系统参数向量θ的估计值， 使残差平方和为zui小.
将相关分析法和zui小二乘法结合起来可同时辨识出非参数模型及参数模型.
图3是辨识x轴时输入输出量的相关函数曲线（利用r9211b仪器获得）.从图中可看到：m序列输入信号的自相关性、伺服运动输出速度的自相关性以及输入、输出的互相关性都很显著. 这说明，用于辨识的输入 输出信号可信度较高.
图3 x轴的相关函数曲线
fig.3 correlation functions on x axis
3 数控铣床轨迹控制模型的辨识
当数控铣床的机械性能较好时可略去其非线性因素. 因而， 参考位置输入量和实际位置输出量间采样序列u（t）和y（t）可表示为常系数线性差分方程：
y（t）+a1y（t-1）+…+any（t-n）=b0u（t-d）+
b1u（t-1-d）+…+bmu（t-m-d） （3）
式中d为延迟量.
对式（3）进行z变换后可得到：
（4）
式（4）中的即为系统的传递函数.
辨识实验中系统的i/o信号波形如图4所示（m序列信号的钟周期为50ms，采样周期为7.81ms），采用arx模型结构，对采样的前半部分信号进行辨识计算，得到x轴的传递函数，其中延迟步数为4，主导极点为7，零点数等于6，见表1, 计算出差分方程式（3）的系数见表2.
图4 采样数据波形
fig.4 waves of signal measured
表1 x轴主导零-极点数据
table 1 major zero-pole on x axis
序号 极点 零点
1 -0.394 0+i0.619 2 -0.927 9+i0.478 9
2 -0.394 0-i0.619 2 -0.927 9-i0.478 9
3 0.280 4+i0.508 8 0.518 6+i0.864 3
4 0.280 4-i0.508 8 0.158 6-i0.864 3
5 0.869 9
6 0.7177+i0.226?5 0.049?4+i0.868?1
7 0.7177-i0.226?5 0.049?4-i0.868?1
用辨识出的模型画出仿真曲线，和后半部分采样信号进行比较，其拟合较理想，见图5.
图5 采样数据曲线与模型仿真曲线
fig.5 measured curve and simulated curve
表2 模型系数
table 2 coefficient of model
序号 a b
1 -2.078 1 0.0000
2 1.725 5 0.0000
3 -1.117 5 0.0000
4 0.941 4 0.0000
5 -0.698 7 0.176 0
6 0.347 8 0.126 7
7 -0.089 6 0.150 8
8 0.238 6
9 0.206 0
10 0.081 1
11 0.147 4
4 前馈预见补偿器设计
4.1 前馈预见补偿器的结构
在不带前馈补偿的数控铣床反馈控制器中，由数控程序发出的位置指令yd（t）就是参考位置输入量u（t），因此当t＞0时，伺服系统动态实际位置y（t）不等于给定的位置yd（t）（伺服系统中，a（z-1）不等于b（z-1）），采用前馈补偿器的目的就是要使实际位置尽可能紧密跟踪给定的位置yd（t）.为此要根据不同情况设计前馈补偿器的形式. 图6中表示的是前馈补偿器与闭环反馈系统间的关系.
数控铣床轨迹控制的一个显著特点是未来的轨迹点可预先知道，因此在本前馈补偿器的设计中也考虑利用此未来值. 即采用预见控制方式，以进一步减小轨迹控制误差.
在数控机床系统中，零点在单位圆外的情况（称为非zui小相位系统）极为普遍［4］.由辨识结果可知：本研究所采用的数控铣床也是一非zui小相位系统.
将图6中的零点多项式b（z-1）分解为：
b（z-1）=bin（z-1）.bout（z-1）.b1（z-1）（5）
图6 前馈补偿器与闭环反馈系统间的位置关系
fig.6 location about feedforward preview compensator
and closed-feedback system
式中bin（z-1）为单位圆内的零点,b1（z-1）为单位圆上的零点,bout（z-1）为单位圆外的零点.
这样，铣床闭环系统的传递函数可表示为：
（6）
因此， 前馈补偿器中分别对相应的几部分进行补偿：
{f（z-1）, f（z）}=f1（z）.f2（z-1）.f3（z） （7）
其中, f1（z）＝zd, 用于消除系统延迟d步而产生相位差的影响; f2（z-1）=a（z-1）/bin（z-1），用于删除落在单位圆内和圆上的极-零点；f3（z）用于消除系统中单位圆外零点的影响；对于f3（z），如取其逆系统1/bout（z-1），就会导致系统产生不稳定的极点，因此采用与其等价的复数形式进行补偿［2］.
设系统共有k个单位圆外的零点，则
其复数的指数形式展开为幂级数后：
（8）
由于数控轨迹控制中未来s步的目标值可预先算出，则代入式（8）后就实现了与 bout（z-1）的逆系统的等价. 由于这些零点在单位圆外，所以级数收敛，因此取式（8）的前有限项就可获得近似结果. 考虑到取有限项后引起的增益改变，将式（8）除以系数 {1-（rleiθl）-nszns}得到bout（z-1）的近似逆系统为：
（9）
4.2 前馈预见补偿器的参数计算
对于辨识获得的数控铣床x轴伺服系统的传递函数， 其前馈补偿器参数为：
所以
（10）
式（10）中,r1=r2=1.0442，θ1= -θ2＝2.04726rad，h1=h2=0.5
单位圆外一对共轭复数零点的前馈预见补偿器为：fout（z）=fout（z）1+fout（z）2
其中：
确定了预见步数ns后，fout（z）1和fout（z）2中的各虚数项可一一消去，fout（z）就成为简单的实系数补偿器.
5 实验结果及分析
根据以上辨识得出的数控铣床模型，加上前馈预见补偿器（预见步数取3），构造出一新的数控伺服控制器，进行实验. 补偿前后x轴的bode图如图7所示.
图7 补偿前后x轴的bode图
fig.7 bode diagrams compensated and un-compensated on x axis
从图7中可以看到, 补偿前的幅频增益特性和相频特性随着频率增大而明显下降, 频率在4 hz时增益约下降18db, 相位滞后约180°；频率在10 hz时增益约下降31db, 相位滞后约270°；频率在40hz时增益约下降39db, 相位滞后约700°. 加前馈预见补偿后幅频增益在25 hz内时基本保持定值,相频特性在频率达100hz时，只有约100°的相位差.
经比较后可知，采用前馈预见补偿器后铣床伺服控制器的频率特性比不加补偿器时有明显改善，尤其在低频段效果更显著.
6 结 论
采用合适参数的m序列伪随机信号和zui小二乘法辨识出了数控铣床的动态传递函数，相关分析及谱图表明辨识过程中的i/o信号可信度较高. 根据数控轨迹可知的特点，分别对闭环系统中延迟步数、极点以及零点进行相应的补偿，构成了一个前馈预见补偿器，实验结果表明补偿后的频率特性有很大提高.
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图1 铣床数控系统， 伺服系统及信号发生、 采集装置
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辨识过程中，由微机发出m序列二值伪随机信号，该信号经pcl812板的d/a口以合适的电平送至数控系统的速度控制端，叠加在系统正常工作的信号上，在测速电机的输出端产生的响应信号经a/d转换后与m信号一起存放在微机数据文件中.
2 m序列信号与相关分析法辨识
2.1 m序列信号及功率谱
辨识过程中采用zui大长度双电平伪随机m序列信号［5］，m序列信号统计特性较好，生成方法简便. 本研究中，由微机预先产生一个周期的m序列信号，然后循环输出. 经初步计算及实验后确定m序列信号周期长度为np＝27－1＝127，基本电平时间（钟周期）大于4ms时可取得较理想的辨识效果. 图2中给出了钟周期＝11ms时m序列信号的功率谱及数控铣床在此信号激励下的输出功率谱. 此m序列信号近似于白噪声，它能激励出铣床在工作通频带范围内的动态行为.
图2 m序列信号功率谱及数控铣床的输出功率谱
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2.2 相关分析－zui小二乘法辨识系统模型
相关分析法辨识的理论基础是维纳－何浦（wiener_hopt）方程［5］：
（1）
式中，ruu（λ-τ）为输入量的自相关函数；ruy（λ）为输入/输出量的互相关函数；为系统冲激响应的*估计.
设有一siso线性离散时间系统可表示为：
y（t）＝-a1y（t-1）-a2y（t-2）-…-any（t-n）+b1u（t-1）+b2u（t-2）+…+bnu（t-n）+e（t）=φttθ+e（t） （2）
式中：{u（t）}和{y（t）}分别为实际测量的输入和输出序列，e（t）为误差项.
φtt＝［-y（t-1）,…,-y（t-n）, u（t-1）,…,u（t-n）
θt=［a1,…an, b1,…,bn］
向量矩阵形式为
y=φtθ+e
残差为：
应用zui小二乘法的辨识就是确定系统参数向量θ的估计值， 使残差平方和为zui小.
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图3是辨识x轴时输入输出量的相关函数曲线（利用r9211b仪器获得）.从图中可看到：m序列输入信号的自相关性、伺服运动输出速度的自相关性以及输入、输出的互相关性都很显著. 这说明，用于辨识的输入 输出信号可信度较高.
图3 x轴的相关函数曲线
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3 数控铣床轨迹控制模型的辨识
当数控铣床的机械性能较好时可略去其非线性因素. 因而， 参考位置输入量和实际位置输出量间采样序列u（t）和y（t）可表示为常系数线性差分方程：
y（t）+a1y（t-1）+…+any（t-n）=b0u（t-d）+
b1u（t-1-d）+…+bmu（t-m-d） （3）
式中d为延迟量.
对式（3）进行z变换后可得到：
（4）
式（4）中的即为系统的传递函数.
辨识实验中系统的i/o信号波形如图4所示（m序列信号的钟周期为50ms，采样周期为7.81ms），采用arx模型结构，对采样的前半部分信号进行辨识计算，得到x轴的传递函数，其中延迟步数为4，主导极点为7，零点数等于6，见表1, 计算出差分方程式（3）的系数见表2.
图4 采样数据波形
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表1 x轴主导零-极点数据
table 1 major zero-pole on x axis
序号 极点 零点
1 -0.394 0+i0.619 2 -0.927 9+i0.478 9
2 -0.394 0-i0.619 2 -0.927 9-i0.478 9
3 0.280 4+i0.508 8 0.518 6+i0.864 3
4 0.280 4-i0.508 8 0.158 6-i0.864 3
5 0.869 9
6 0.7177+i0.226?5 0.049?4+i0.868?1
7 0.7177-i0.226?5 0.049?4-i0.868?1
用辨识出的模型画出仿真曲线，和后半部分采样信号进行比较，其拟合较理想，见图5.
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表2 模型系数
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序号 a b
1 -2.078 1 0.0000
2 1.725 5 0.0000
3 -1.117 5 0.0000
4 0.941 4 0.0000
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6 0.347 8 0.126 7
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8 0.238 6
9 0.206 0
10 0.081 1
11 0.147 4
4 前馈预见补偿器设计
4.1 前馈预见补偿器的结构
在不带前馈补偿的数控铣床反馈控制器中，由数控程序发出的位置指令yd（t）就是参考位置输入量u（t），因此当t＞0时，伺服系统动态实际位置y（t）不等于给定的位置yd（t）（伺服系统中，a（z-1）不等于b（z-1）），采用前馈补偿器的目的就是要使实际位置尽可能紧密跟踪给定的位置yd（t）.为此要根据不同情况设计前馈补偿器的形式. 图6中表示的是前馈补偿器与闭环反馈系统间的关系.
数控铣床轨迹控制的一个显著特点是未来的轨迹点可预先知道，因此在本前馈补偿器的设计中也考虑利用此未来值. 即采用预见控制方式，以进一步减小轨迹控制误差.
在数控机床系统中，零点在单位圆外的情况（称为非zui小相位系统）极为普遍［4］.由辨识结果可知：本研究所采用的数控铣床也是一非zui小相位系统.
将图6中的零点多项式b（z-1）分解为：
b（z-1）=bin（z-1）.bout（z-1）.b1（z-1）（5）
图6 前馈补偿器与闭环反馈系统间的位置关系
fig.6 location about feedforward preview compensator
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式中bin（z-1）为单位圆内的零点,b1（z-1）为单位圆上的零点,bout（z-1）为单位圆外的零点.
这样，铣床闭环系统的传递函数可表示为：
（6）
因此， 前馈补偿器中分别对相应的几部分进行补偿：
{f（z-1）, f（z）}=f1（z）.f2（z-1）.f3（z） （7）
其中, f1（z）＝zd, 用于消除系统延迟d步而产生相位差的影响; f2（z-1）=a（z-1）/bin（z-1），用于删除落在单位圆内和圆上的极-零点；f3（z）用于消除系统中单位圆外零点的影响；对于f3（z），如取其逆系统1/bout（z-1），就会导致系统产生不稳定的极点，因此采用与其等价的复数形式进行补偿［2］.
设系统共有k个单位圆外的零点，则
其复数的指数形式展开为幂级数后：
（8）
由于数控轨迹控制中未来s步的目标值可预先算出，则代入式（8）后就实现了与 bout（z-1）的逆系统的等价. 由于这些零点在单位圆外，所以级数收敛，因此取式（8）的前有限项就可获得近似结果. 考虑到取有限项后引起的增益改变，将式（8）除以系数 {1-（rleiθl）-nszns}得到bout（z-1）的近似逆系统为：
（9）
4.2 前馈预见补偿器的参数计算
对于辨识获得的数控铣床x轴伺服系统的传递函数， 其前馈补偿器参数为：
所以
（10）
式（10）中,r1=r2=1.0442，θ1= -θ2＝2.04726rad，h1=h2=0.5
单位圆外一对共轭复数零点的前馈预见补偿器为：fout（z）=fout（z）1+fout（z）2
其中：
确定了预见步数ns后，fout（z）1和fout（z）2中的各虚数项可一一消去，fout（z）就成为简单的实系数补偿器.
5 实验结果及分析
根据以上辨识得出的数控铣床模型，加上前馈预见补偿器（预见步数取3），构造出一新的数控伺服控制器，进行实验. 补偿前后x轴的bode图如图7所示.
图7 补偿前后x轴的bode图
fig.7 bode diagrams compensated and un-compensated on x axis
从图7中可以看到, 补偿前的幅频增益特性和相频特性随着频率增大而明显下降, 频率在4 hz时增益约下降18db, 相位滞后约180°；频率在10 hz时增益约下降31db, 相位滞后约270°；频率在40hz时增益约下降39db, 相位滞后约700°. 加前馈预见补偿后幅频增益在25 hz内时基本保持定值,相频特性在频率达100hz时，只有约100°的相位差.
经比较后可知，采用前馈预见补偿器后铣床伺服控制器的频率特性比不加补偿器时有明显改善，尤其在低频段效果更显著.
6 结 论
采用合适参数的m序列伪随机信号和zui小二乘法辨识出了数控铣床的动态传递函数，相关分析及谱图表明辨识过程中的i/o信号可信度较高. 根据数控轨迹可知的特点，分别对闭环系统中延迟步数、极点以及零点进行相应的补偿，构成了一个前馈预见补偿器，实验结果表明补偿后的频率特性有很大提高.
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