平面螺旋运动包络特性的研究
摘要：利用解析几何和条件极值理论研究了用平面（或圆柱面）砂轮刃磨钻头时形成的钻尖后刀面的包络特性，结果表明，刃磨形成的钻尖后刀面由平面螺旋运动包络曲面和位于中心区域的非包络曲面组成。非包络区域面积与螺旋运动导程及砂轮平面与旋转轴的夹角有关，导程和夹角越大，非包络区域也越大。
1 问题的提出在实际加工中，经常采用普通螺旋面刃磨法对钻头的钻尖后刀面进行刃磨。刃磨原理如图1所示，钻头在绕自身轴线旋转的同时沿轴线方向相对于平面（或圆柱面）砂轮向前推进，即作普通螺旋运动。为求出通过刃磨得到的钻尖后刀面的结构参数和横刃参数，通常可按平面螺旋运动生成的包络面进行求解。首先建立图1所示坐标系。平面包络方程为 { -xcosqcosw-ycosqsinw+zsinq+h-k2wsinq=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（1）
图1 普通螺旋面刃磨原理
式中：h——初始包络面到坐标原点的zui小距离 k2——钻头推进速度与自转速度之比 q——旋转轴与包络平面的夹角 u，w——刃形参数 rs——砂轮半径 其它中间变量包括： n=[（lcosq+usinq）2+k22sin2q
ne=（-lcos2q-usinqcosq）/n
ne1=-k2sinq/n
nk=（lsinqcosq+usin2q）/n
l=rs+h
平面包络螺旋面的包络线如图2所示。由图可见，这些包络线在钻头端面包络出一个圆。根据平面包络方程式（1）可知，包络线在xoy平面上的投影线方程为
图2 平面包络螺旋面的包络线
图3 平面及其上直线的初始位置
{ z=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（2）
该投影线的包络曲线方程为 { xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
xcosqcosw+ycosqsinw=0
（3）
由于该包络曲线是半径为k2tanq 的圆，因此在靠近旋转中心、以k2tanq 为半径的圆柱以内的区域不是平面螺旋运动的包络面，即为非包络区。但是，显然不能认为非包络区未被砂轮磨削。本文利用解析几何和条件极值理论，对平面螺旋运动生成的钻尖后刀面的包络区和非包络区进行了理论分析。2 直线包络曲面与平面包络曲面的关系在图3所示坐标系中，平面方程为 x=ztanq （4）
在平面上取一直线，其初始位置方程为 { x=ztanq
y=a
（5）
该直线绕z 轴旋转a=wt 角后其方程为 { xcosa+ysina=（z-vt）tanq
-xsina+ycosa=a
（6）
式（6）为平面上一直线形成的扫成面方程。为研究直线包络形成的曲面与平面包络形成的曲面之间的关系，选取一条平行于z轴的直线 { x=a
y=b
（7）
并求出该直线与直线包络曲面和平面包络曲面的交点。如果将背离z轴方向的区域作为材料去除部分，则材料去除越多，交点的z值越大，据此可对两种曲面对zui后生成面所起的作用进行比较。该直线与直线包络曲面的交点为 z= （a2+b2-a2）? cotq+ v （arccos a -f）
（a2+b2）? w （a2+b2）?
sinf= a
（a2+b2）?
（8）
由式（8）可知，z 值与直线在平面上的位置有关，也与选择求交的直线位置有关。对a值求导可得 dz = a cotq- v 1
da （a2+b2）?（a2+b2-a2）? w （a2+b2）?（a2+b2-a2）?
（9）
令导数为零，可得 a =-（v/w）tanq （10）
当a=-（v/w）tanq时，z有极值，且与（a，b）的取值无关。而a=-（v/w）tanq时直线形成的包络面正是平面包络形成的曲面。 通过以上分析不难看出，平面运动的包络面就是平面上所有直线扫成面的条件极值的集合。3 非包络区域的特性分析非包络区是指平面包络运动时在半径为（v/w）tanq的圆内形成的非包络部分。由式（9）可知，当a>-（v/w）tanq时，导数<0，因此该函数为减函数。选取非包络区内一点，由其对应的zui小a值确定的交点就是终值点，即 a=（a2+b2）? （11）
z=（v/w）（p-f） （12）
式中，f 值可由式（8）中的第二式求得，并应根据（a，b）所在象限对f 值进行修正；z 是（ a，b）的函数。 包络区与非包络区的界线称为脊线。分别在脊线上、脊线外和脊线内选定位置点，然后通过计算分析平面转动360°过程中与选定直线交点z 值的变化规律。计算结果如图4～图6所示，图中，横坐标为平面螺旋运动的转角，纵坐标为平面与选定直线交点的z 值；（a）～（d）分别表示直线在*～ 第四象限内；平面螺旋运动参数为v=5.3，w=2p/ 5，q=60°。
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
（d）直线在第四象限
图4 所选点在脊线上时的z值曲线
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
（d）直线在第四象限
图5 所选点在脊线外时的z值曲线
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
（d）直线在第四象限
图6 所选点在脊线内时的z值曲线
由图可知：①当所选点位置在脊线上时，z值曲线有拐点，但无局部极值，为全域增函数（见图4）；②当所选点位置在脊线以外时，z 值曲线有拐点，存在局部极值，且不同象限的极值点不同（见图5）；③当所选点位置在脊线以内时，z 值曲线没有拐点，为全域增函数（见图6）。 图7所示为所选位置点在相同象限内但位置半径变化时z 值曲线的变化情况。由图可见，随着所选点位置半径的增大， z值曲线由直线逐渐变弯，由无极值到有局部极值，且局部极值逐渐增大。由图7还可看出，当平面旋转一周时，所有z值曲线均经过两点，这两点对应的z值与交点位置有关，其关系式为：tana=-a/b。对于图7a所示交点位置，当a=b时，a值分别为135°和315°。
（a）平面螺旋运动速度v=5.3
（b）平面螺旋运动速度v=0
a=b 0.a=0 1.a=10 2.a=20 3.a=30 4.a=40 5.a=50 6.a=60 7.a=70 8.a=80 9.a=90
图7 相同象限内所选点位置半径变化时的z 值曲线
4 结论通过以上分析，可得出如下结论： 采用普通螺旋面法刃磨形成的钻头后刀面的一部分区域为砂轮平面螺旋运动的包络面，另一部分区域则为非包络面； 平面螺旋运动的包络面是平面上所有直线扫成面的条件极值的集合； 采用普通螺旋面法或复杂螺旋面法刃磨钻头时，仅用包络面求取钻尖结构参数是不全面的； 平面螺旋运动形成的非包络区域的面积与螺旋运动的导程和砂轮平面与旋转轴的夹角有关，即导程和安装夹角越大，非包络区域面积也越大。
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1 问题的提出在实际加工中，经常采用普通螺旋面刃磨法对钻头的钻尖后刀面进行刃磨。刃磨原理如图1所示，钻头在绕自身轴线旋转的同时沿轴线方向相对于平面（或圆柱面）砂轮向前推进，即作普通螺旋运动。为求出通过刃磨得到的钻尖后刀面的结构参数和横刃参数，通常可按平面螺旋运动生成的包络面进行求解。首先建立图1所示坐标系。平面包络方程为 { -xcosqcosw-ycosqsinw+zsinq+h-k2wsinq=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（1）
图1 普通螺旋面刃磨原理
式中：h——初始包络面到坐标原点的zui小距离 k2——钻头推进速度与自转速度之比 q——旋转轴与包络平面的夹角 u，w——刃形参数 rs——砂轮半径 其它中间变量包括： n=[（lcosq+usinq）2+k22sin2q
ne=（-lcos2q-usinqcosq）/n
ne1=-k2sinq/n
nk=（lsinqcosq+usin2q）/n
l=rs+h
平面包络螺旋面的包络线如图2所示。由图可见，这些包络线在钻头端面包络出一个圆。根据平面包络方程式（1）可知，包络线在xoy平面上的投影线方程为
图2 平面包络螺旋面的包络线
图3 平面及其上直线的初始位置
{ z=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（2）
该投影线的包络曲线方程为 { xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
xcosqcosw+ycosqsinw=0
（3）
由于该包络曲线是半径为k2tanq 的圆，因此在靠近旋转中心、以k2tanq 为半径的圆柱以内的区域不是平面螺旋运动的包络面，即为非包络区。但是，显然不能认为非包络区未被砂轮磨削。本文利用解析几何和条件极值理论，对平面螺旋运动生成的钻尖后刀面的包络区和非包络区进行了理论分析。2 直线包络曲面与平面包络曲面的关系在图3所示坐标系中，平面方程为 x=ztanq （4）
在平面上取一直线，其初始位置方程为 { x=ztanq
y=a
（5）
该直线绕z 轴旋转a=wt 角后其方程为 { xcosa+ysina=（z-vt）tanq
-xsina+ycosa=a
（6）
式（6）为平面上一直线形成的扫成面方程。为研究直线包络形成的曲面与平面包络形成的曲面之间的关系，选取一条平行于z轴的直线 { x=a
y=b
（7）
并求出该直线与直线包络曲面和平面包络曲面的交点。如果将背离z轴方向的区域作为材料去除部分，则材料去除越多，交点的z值越大，据此可对两种曲面对zui后生成面所起的作用进行比较。该直线与直线包络曲面的交点为 z= （a2+b2-a2）? cotq+ v （arccos a -f）
（a2+b2）? w （a2+b2）?
sinf= a
（a2+b2）?
（8）
由式（8）可知，z 值与直线在平面上的位置有关，也与选择求交的直线位置有关。对a值求导可得 dz = a cotq- v 1
da （a2+b2）?（a2+b2-a2）? w （a2+b2）?（a2+b2-a2）?
（9）
令导数为零，可得 a =-（v/w）tanq （10）
当a=-（v/w）tanq时，z有极值，且与（a，b）的取值无关。而a=-（v/w）tanq时直线形成的包络面正是平面包络形成的曲面。 通过以上分析不难看出，平面运动的包络面就是平面上所有直线扫成面的条件极值的集合。3 非包络区域的特性分析非包络区是指平面包络运动时在半径为（v/w）tanq的圆内形成的非包络部分。由式（9）可知，当a>-（v/w）tanq时，导数<0，因此该函数为减函数。选取非包络区内一点，由其对应的zui小a值确定的交点就是终值点，即 a=（a2+b2）? （11）
z=（v/w）（p-f） （12）
式中，f 值可由式（8）中的第二式求得，并应根据（a，b）所在象限对f 值进行修正；z 是（ a，b）的函数。 包络区与非包络区的界线称为脊线。分别在脊线上、脊线外和脊线内选定位置点，然后通过计算分析平面转动360°过程中与选定直线交点z 值的变化规律。计算结果如图4～图6所示，图中，横坐标为平面螺旋运动的转角，纵坐标为平面与选定直线交点的z 值；（a）～（d）分别表示直线在*～ 第四象限内；平面螺旋运动参数为v=5.3，w=2p/ 5，q=60°。
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
（d）直线在第四象限
图4 所选点在脊线上时的z值曲线
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
（d）直线在第四象限
图5 所选点在脊线外时的z值曲线
（a）直线在*象限
（b）直线在第二象限
（c）直线在第三象限
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图6 所选点在脊线内时的z值曲线
由图可知：①当所选点位置在脊线上时，z值曲线有拐点，但无局部极值，为全域增函数（见图4）；②当所选点位置在脊线以外时，z 值曲线有拐点，存在局部极值，且不同象限的极值点不同（见图5）；③当所选点位置在脊线以内时，z 值曲线没有拐点，为全域增函数（见图6）。 图7所示为所选位置点在相同象限内但位置半径变化时z 值曲线的变化情况。由图可见，随着所选点位置半径的增大， z值曲线由直线逐渐变弯，由无极值到有局部极值，且局部极值逐渐增大。由图7还可看出，当平面旋转一周时，所有z值曲线均经过两点，这两点对应的z值与交点位置有关，其关系式为：tana=-a/b。对于图7a所示交点位置，当a=b时，a值分别为135°和315°。
（a）平面螺旋运动速度v=5.3
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a=b 0.a=0 1.a=10 2.a=20 3.a=30 4.a=40 5.a=50 6.a=60 7.a=70 8.a=80 9.a=90
图7 相同象限内所选点位置半径变化时的z 值曲线
4 结论通过以上分析，可得出如下结论： 采用普通螺旋面法刃磨形成的钻头后刀面的一部分区域为砂轮平面螺旋运动的包络面，另一部分区域则为非包络面； 平面螺旋运动的包络面是平面上所有直线扫成面的条件极值的集合； 采用普通螺旋面法或复杂螺旋面法刃磨钻头时，仅用包络面求取钻尖结构参数是不全面的； 平面螺旋运动形成的非包络区域的面积与螺旋运动的导程和砂轮平面与旋转轴的夹角有关，即导程和安装夹角越大，非包络区域面积也越大。
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