渐开线花键拉刀倒角齿测量值的计算
摘要：介绍一种可计算渐开线花键拉刀倒角齿测量值的新算法，并编写了该算法的c语言计算程序。
图1 渐开线花键齿形
图2 ra的计算
1 问题的提出我厂生产的渐开线花键齿轮出口产品对齿轮倒角提出了严格要求，因此设计加工该齿轮用的渐开线花键拉刀时，必须对拉刀倒角测量值进行计算。 对于图1 所示的渐开线花键齿形，已知花键的模数m、齿数z、压力角a、小径ra、分度圆齿厚s、基圆半径rb、倒角长度a、倒角角度b等参数，对拉刀倒角测量值h（图1中的eo值）的原计算方法步骤如下：①ch=acotb；②ra=ra+ch；③分度圆齿槽宽w=pm-s；④倒角终止处齿槽宽wa=ab︵=2ra（w/mz+inva-invaa），式中aa=arccos（rb/ra）；⑤wa对应弦长ab=2rasin（180wa/2pra）；⑥cd=ab+2a；⑦d=arcsin（cd/2ra）；⑧dx=90°-b-d；⑨h=eo=racosdx。分析上述计算步骤可知，（3）～（9）理论上均正确。但由图1可知，ra并不等于ra+a，而是小于ra+a。因此，按ra=ra+a计算出的ra并非值，而是近似值，这就是该计算方法的不足之处。因此，必须采用经改进的新算法对ra及h进行求解。2 ra的求解建立如图2 所示坐标系，设点c（x0，y0），a（xa，ya）。由图2 可知：xa=x0+a，ya=y0+acotb，故a点坐标为a（x0+a，y0+acotb），因此有 ra=[（x0+a）2+（y0+acotb）2]? （1）
由于c点在花键小径上，故有 x02+y02=ra2 （2）
由于a 点在渐开线上，故有 q=tanaa-aa （3）
由图2可知 aa=arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} （4）
联立式（3）、式（4），有 q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} （5）
由图2可知 q= 1 ef︵ -d
2 rb
（6）
式中d=-arctan（x0+a）/（y0+acotb） 由于ef︵实质上就是基圆齿槽宽wb，而wb的计算公式为 wb=wcosa+mzcosainva （7）
因此，将式（7）代入式（6）可得 q= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（8）
令式（5）=式（8），可得 q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}
= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（9）
联立式（2）和式（9），可得方程组 x02+y02=ra2
q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}
= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（10）
在式（10）中，除x0，y0外，其它参数值均已知或可求出，因此理论上可通过该方程组求解x0，y0 （实际上x0，y0的求解计算非常繁琐，因此必须借助计算机进行编程计算），然后根据式（1）求出ra的解。将ra的解代入*节介绍的计算步骤，即可求得的拉刀倒角测量值h。
图3 试值法求解方程组流程图
3 方程组的试值法求解在式（10）中，x0，y0既存在于根号下，又存在于三角函数、反三角函数中，因此用常规算法很难解出。为此可采用试值法求解。 将式（10）中x02+y02=ra2变形为y0=（ra2-x02）?。对于每一给定的x0值均有对应的y0值，因此可确定c 点坐标c（x0，y0），且点c（x0，y0）位于圆x02+y02=ra2之上。由于a点坐标为a（x0+a，x0+acotb），因此a点也可随之确定。下一步只须判别x0，y0是否符合式（10）（即a点是否在渐开线上），如符合，则x0，y0即为方程组的解。由于式（9）实质为式（5）=式（8），因此可将其变形为式（5）-式（8）=0。由于式（5）、式（8）的值均为实数，要使二者相等比较困难，因此这里只需将二者差值控制在某一范围内即可认为两式相等，如当-0.00001≤式（5）-式（8）≤0. 00001时可认为两式相等，即x0，y0符合式（10），为方程组的解。 求解时需要选取x0的初值。若对x0采取递加计算，x0初值必须取在c点左边；若x0初值取在c点右边，则应对x0递减计算。计算时x0初值由计算机自动选取。 采用试值法求解方程组的程序流程如图3所示。4 计算程序与实例为提高求解方程组的计算效率，采用c语言编写了以下计算程序。虽然采用试值法（对x0试值）求解，但不需人工输入x0初值（由计算机自动选取）。只需输入渐开线花键参数，即可获得计算结果。 # include stdio. h # include math. h # define pi 3.141562652 double inv（double num） （return tan（num）-num;） double x0,y0,z,o,c,da,db,a,b1,b2,s,m,p1,aa,b,dc,ax,m,dk,w,ac,wc,b,fx,h,aa,sd,sx,xs; main（） {printf（c=m =d k=）; printf（%1f%1f%1f,&c,&m,&dk）; printf（m= z= o= da= a=）; scanf（%1f%1f%1f%1f%1f,&m,&z,&o,&da,&a））; db=m*z*cos（a*pi/180）; if（fmod（z,2）==1） ax=acos（db*cos（pi/（2*z））/（m+dk））; else ax=acos（db/（m+dk））; s=m*z*（pi/z-dk/db+inv（a*pi/180）-inv（ax））; w=pi*m-s; aa=acos（db/da）; sd=da*w/（m*z）-da*（inv（aa）-inv（a*pi/180））; sx=da*sin（sd/da）; xs=-（sx/2+c）; x0=xs; a100:x0=x0+0.0001; y0=sqrt（da*da/4-x0*x0）; aa=acos（（db/2）/sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*pi/180））*（y0+c/tan（o*pi/180）））;b1=inv（aa）; b2=（w*cos（a*pi/180）+m*z*cos（a*pi/180）*inv（a*pi/180））/db+atan（（x0+c）/（y0+c/tan（o*pi/180）））; b=b1-b2; （if b > 0.0001 | | b < -0.0001）goto a100 ; dc=sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*pi/180））*（y0+c/tan（o*pi/180）））*2; ac=acos（db/dc）; wc=dc*（w/（m*z）+inv（a*pi/180）-inv（ac））; b=sin（wc/dc）*dc; fx=90-o-180*asin（（b+2*c）/（m*z））/pi; h=da*cos（fx*pi/180）/2; printf（x0=%1f y0=%1f/n,x0, y0）; printf（db=%1f aa=%1f/n,db,aa）; printf（b=%1f s=%1f/n,b,s）; printf（dc=%1f h=%1f/n,dc,h）; getchar（）; } 计算实例：已知渐开线花键拉刀参数：m=2.5mm，z=18，a=30°，s=3.76mm，ra=21.335mm，倒角为0.5×45°。采用原计算方法求得的倒角测量值h=16.958mm，而采用本文介绍的计算方法求得h=16.882mm。可见，两种计算方法的计算差值为0.076mm，且计算方法的计算值要小一些。因此，在对齿轮倒角要求不严格的情况下，采用原计算方法比较简便；而在对齿轮倒角要求严格的情况下，则应采用计算方法，并借助计算机程序辅助计算。
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氮氧化物分析仪原理
高精密数控车床螺纹如何连接
如何通过刀具和夹头提高模具加工质量
灌装机的性能日渐完善的因素以及好处有哪些
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由于c点在花键小径上，故有 x02+y02=ra2 （2）
由于a 点在渐开线上，故有 q=tanaa-aa （3）
由图2可知 aa=arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} （4）
联立式（3）、式（4），有 q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} （5）
由图2可知 q= 1 ef︵ -d
2 rb
（6）
式中d=-arctan（x0+a）/（y0+acotb） 由于ef︵实质上就是基圆齿槽宽wb，而wb的计算公式为 wb=wcosa+mzcosainva （7）
因此，将式（7）代入式（6）可得 q= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（8）
令式（5）=式（8），可得 q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}
= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（9）
联立式（2）和式（9），可得方程组 x02+y02=ra2
q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}
= 1 wcosa+mzcosainva +arctan x0+a
2 rb y0+acotb
（10）
在式（10）中，除x0，y0外，其它参数值均已知或可求出，因此理论上可通过该方程组求解x0，y0 （实际上x0，y0的求解计算非常繁琐，因此必须借助计算机进行编程计算），然后根据式（1）求出ra的解。将ra的解代入*节介绍的计算步骤，即可求得的拉刀倒角测量值h。
图3 试值法求解方程组流程图
3 方程组的试值法求解在式（10）中，x0，y0既存在于根号下，又存在于三角函数、反三角函数中，因此用常规算法很难解出。为此可采用试值法求解。 将式（10）中x02+y02=ra2变形为y0=（ra2-x02）?。对于每一给定的x0值均有对应的y0值，因此可确定c 点坐标c（x0，y0），且点c（x0，y0）位于圆x02+y02=ra2之上。由于a点坐标为a（x0+a，x0+acotb），因此a点也可随之确定。下一步只须判别x0，y0是否符合式（10）（即a点是否在渐开线上），如符合，则x0，y0即为方程组的解。由于式（9）实质为式（5）=式（8），因此可将其变形为式（5）-式（8）=0。由于式（5）、式（8）的值均为实数，要使二者相等比较困难，因此这里只需将二者差值控制在某一范围内即可认为两式相等，如当-0.00001≤式（5）-式（8）≤0. 00001时可认为两式相等，即x0，y0符合式（10），为方程组的解。 求解时需要选取x0的初值。若对x0采取递加计算，x0初值必须取在c点左边；若x0初值取在c点右边，则应对x0递减计算。计算时x0初值由计算机自动选取。 采用试值法求解方程组的程序流程如图3所示。4 计算程序与实例为提高求解方程组的计算效率，采用c语言编写了以下计算程序。虽然采用试值法（对x0试值）求解，但不需人工输入x0初值（由计算机自动选取）。只需输入渐开线花键参数，即可获得计算结果。 # include stdio. h # include math. h # define pi 3.141562652 double inv（double num） （return tan（num）-num;） double x0,y0,z,o,c,da,db,a,b1,b2,s,m,p1,aa,b,dc,ax,m,dk,w,ac,wc,b,fx,h,aa,sd,sx,xs; main（） {printf（c=m =d k=）; printf（%1f%1f%1f,&c,&m,&dk）; printf（m= z= o= da= a=）; scanf（%1f%1f%1f%1f%1f,&m,&z,&o,&da,&a））; db=m*z*cos（a*pi/180）; if（fmod（z,2）==1） ax=acos（db*cos（pi/（2*z））/（m+dk））; else ax=acos（db/（m+dk））; s=m*z*（pi/z-dk/db+inv（a*pi/180）-inv（ax））; w=pi*m-s; aa=acos（db/da）; sd=da*w/（m*z）-da*（inv（aa）-inv（a*pi/180））; sx=da*sin（sd/da）; xs=-（sx/2+c）; x0=xs; a100:x0=x0+0.0001; y0=sqrt（da*da/4-x0*x0）; aa=acos（（db/2）/sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*pi/180））*（y0+c/tan（o*pi/180）））;b1=inv（aa）; b2=（w*cos（a*pi/180）+m*z*cos（a*pi/180）*inv（a*pi/180））/db+atan（（x0+c）/（y0+c/tan（o*pi/180）））; b=b1-b2; （if b > 0.0001 | | b < -0.0001）goto a100 ; dc=sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*pi/180））*（y0+c/tan（o*pi/180）））*2; ac=acos（db/dc）; wc=dc*（w/（m*z）+inv（a*pi/180）-inv（ac））; b=sin（wc/dc）*dc; fx=90-o-180*asin（（b+2*c）/（m*z））/pi; h=da*cos（fx*pi/180）/2; printf（x0=%1f y0=%1f/n,x0, y0）; printf（db=%1f aa=%1f/n,db,aa）; printf（b=%1f s=%1f/n,b,s）; printf（dc=%1f h=%1f/n,dc,h）; getchar（）; } 计算实例：已知渐开线花键拉刀参数：m=2.5mm，z=18，a=30°，s=3.76mm，ra=21.335mm，倒角为0.5×45°。采用原计算方法求得的倒角测量值h=16.958mm，而采用本文介绍的计算方法求得h=16.882mm。可见，两种计算方法的计算差值为0.076mm，且计算方法的计算值要小一些。因此，在对齿轮倒角要求不严格的情况下，采用原计算方法比较简便；而在对齿轮倒角要求严格的情况下，则应采用计算方法，并借助计算机程序辅助计算。
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